EXPRESIONES IMAGINARIAS

Más allá de los números imaginarios
“La imaginación es la naturaleza” (Goethe)

“La imaginación es la realidad” (Patrick Harpur)

“Tanto los números reales como los imaginarios son igualmente productos de la imaginación humana” (Ian Stewart)

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Definición

Una expresión imaginaria es una expresión de sustitución (de la forma x=y, en donde x no es necesariamente un nombre. Puede ser cualquier expresión. En los lenguajes de programación tradicionales solo se permiten nombres de variables.

El ejemplo paradigmático de expresión imaginaria es (i2 = −1). Esta es la famosa definición de la unidad imaginaria i, una entidad que no sabemos lo que es, pero que sabemos que su cuadrado es −1. La entidad i no es √−1 porque (i2 = −1) es una sustitución, no una igualdad.

Esta interpretación como sustitución es lo más adecuado por dos razones:

1. Porque permite ser generalizada a todo tipo de expresiones imaginarias.
2. Porque permite definir expresiones imaginarias de orden superior.

Dependiendo de los tipos de las expresiones x e y, hay expresiones imaginarias de tipo aritmético, lógico, algebraico, etc.

De todas formas, desde el punto de vista de MENTAL, no hay nada imaginario. Solo es la aplicación de un grado de libertad (la sustitución) aplicada a dos expresiones.

Una de las ventajas de las expresiones imaginarias es que permiten definir nuevas operaciones sin la necesidad de definir nuevos operadores. Por ejemplo, se pueden definir las operaciones de suma lógica y producto lógico de magnitudes lógicas:

⟨( f1*V + f2*V = max(f1 f2) )⟩ // suma lógica

⟨( f1*V * f2*V = min(f1 f2) )⟩ // producto lógico

Estas expresiones imaginarias modifican las correspondientes semánticas estándar, que serían respectivamente,

⟨( f1*V + f2*V = (f1+f2)*V )⟩ // suma

⟨( f1*V * f2*V = (f1*f2)*V )⟩ // producto


Ejemplos

1. (ε*ε = 0)
   
   Esta es la definición de un infinitésimo (ε) especificado mediante una expresión imaginaria.
   
   
2. ⟨( (v+c = c) ← v≤c ← v≥0)⟩
   
   Esta es la ley de invariancia de la velocidad de la luz en la teoría de la relatividad especial de Einstein, siendo v una velocidad y c la velocidad de la luz. Así que podemos decir que la luz tiene un comportamiento “imaginario”. Por ejemplo, 13+c se evalúa como c.
   
   
3. ⟨( (∞+n = ∞) )⟩
⟨( (∞*n = ∞) )⟩
⟨( (∞^n = ∞) )⟩
   
   Estas son algunas propiedades de la aritmética del infinito.
   
   
4. ⟨( x+x = x )⟩
   
   Especifica que la suma de dos expresiones iguales produce la misma expresión. Por ejemplo,
   
   4+4 // ev. 4
abc+abc // ev. abc
   
   
5. ⟨( (1 2 x) = (3 x) )⟩
   
   Esto se puede considerar como la definición de una función imaginaria.
   
   (1 2 abc) // ev. (3 abc)
   
   
6. ⟨( r÷0 = ∞) ← r>0 )⟩
⟨( r÷0 = −∞) ← r<0 )⟩
   
   Según esta definición, toda división por cero de un número real positivo es infinito, y toda división por cero de un número real negativo es menos infinito.
   
   1÷0 // ev. ∞
112.34÷0 // ev. ∞
−7÷0 // ev. −∞
   
   
7. ⟨( (r1^2 + r2^2 = −1) )⟩ // define los puntos de una circunferencia imaginaria
   
   
8. ⟨( (r1^2 + r2^2 + r3^2 = −1) )⟩ // define los puntos de la superficie de una esfera imaginaria
   
   
9. {1 −1}^2 = −1 // expresión imaginaria con constantes
   
   
10. (a*0 = 23) // el producto de 'a' por cero es 23
    
    
11. ⟨( x←y = y )⟩ // ejemplo de lógica imaginaria
a←4 // ev. 4
    
    
12. {a b}>5 // ejemplo de expresión imaginaria declarativa

Expresiones imaginarias de orden superior

Son expresiones imaginarias de expresiones imaginarias. Hay dos formas:

1. La expresión imaginaria forma parte de otra expresión imaginaria.
2. Una subexpresión de una expresión imaginaria forma parte de otra expresión imaginaria.

Ejemplos:

1. (i*i = −1)
(i^i = i+7)
   Según esta definición,
   (i^i + 5) // ev. i+12
   
   
2. ((i^i = −1)^2 = −1)
   Según esta definición,
   ((i*i = −1)^2 + z) // ev. −1+z